Системы счисления

Позиционные системы счисления. Перевод чисел в позиционных системах счисления из одного основания в другое. Арифметические операции в позиционных системах счисления

Рассмотрим основные позиционные системы:

Система счисления	Основание	Алфавит цифр
Двоичная	2	0, 1
Восьмеричная	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Десятичная	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Шестнадцатеричная	16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Из основания видно, сколько различных цифр в алфавите содержит та или другая система.

Свойства позиционных систем счисления:

1. В позиционных системах значение цифры зависит от её положения (разряда) в числе.
2. В позиционных системах счисления с основанием N, основание каждого следующего числа в N раз больше предыдущего.

Согласно свойствам позиционных систем счисления разложим число 5327 в разных системах по следующему правилу: каждую цифру умножаем на основание числа, которое возведено в степень равной позиции цифры в числе минус 1. Затем полученные числа суммируются:

5 = 5 * 10³ = 5 * 1000 = 5000

3 = 3 * 10² = 3 * 100 = 300

2 = 2 * 10¹ = 2 * 10 = 20

7 = 7 * 10⁰ = 7 * 1 = 7

5000 + 300 + 20 + 7 = 5327

5 = 5 * 8³ = 5 * 512 = 2560

3 = 3 * 8² = 3 * 64 = 192

2 = 2 * 8¹ = 2 * 8 = 16

7 = 7 * 8⁰ = 7 * 1 = 7

5327₈ = 2560 + 192 + 16 + 7 = 2775₁₀

5 = 5 * 16³ = 5 * 4096 = 20480

3 = 3 * 16² = 3 * 256 = 768

2 = 2 * 16¹ = 2 * 32 = 32

7 = 7 * 16⁰ = 7 * 1 = 7

5327₁₆ = 20480 + 768 + 32 + 7 = 21287₁₀

Перевод чисел в десятичную систему счисления осуществляется по упомянутым выше разложениям чисел, при этом разложенное число суммируется, а полученный результат и есть число в десятичной системе.

Для записи дробных чисел используется отрицательные степени основания:

27,461₁₀ = 2*10¹ + 7*10⁰ + 4*10^-1 + 6*10^-2 + 1*10^-3

Разложим числа записанные в разных системах счисления:

101,01₂ = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ + 0*2^-1 + 1*2^-2

673,2₈ = 6*8² + 7*8¹ + 3*8⁰ + 2*8^-1

8A,F₁₆ = 8*16¹ + A*16⁰ + F*16^-1

Для перевода десятичного числа в двоичное, последовательно делим число на 2, до тех пор, пока частное не будет меньше делителя. После этого, записываем остатки в обратном порядке, а на первое место помещаем последнее частное(которое меньше делителя)

Переведём число 19₁₀ в двоичное:

Делимое	19	9	4	2	1
Делитель (основание системы)	2	2	2	2	2
Остаток	1	1	0	0

Остаток в обратном порядке есть 0011, теперь последнее частное ставим вперёд:

10011₂ = 19₁₀

Аналогично переводят десятичные целые числа в остальные системы заменяя в делителе основание. Пример переведём число 680₁₀ в шестнадцатеричное:

Делимое	680	42	2
Делитель (основание системы)	16	16	16
Остаток	8	A(10)

Остаток в обратном порядке есть A8, теперь последнее частное ставим вперёд:

2A8₁₆ = 680₁₀

Последовательно умножаем дробную часть на 2, записывая целую часть в прямом порядке. Повторить до тех пор, пока не получится нулевая дробная часть.

Переведём число 0,75₁₀ в двоичное:

Десятичная дробь	0,75	0,5	0,0
Множитель (основание системы)	2	2	2
Целая часть произведения	1	1

Переписываем целую часть в прямом порядке 0,75₁₀ = 0,11₂

Аналогично переводят десятичные дробные числа в остальные системы заменяя в множителе основание.

Переведём число 0,4062510₁₀ в восьмеричное:

Десятичная дробь	0,4062510	0,25	0,0
Множитель (основание системы)	8	8	8
Целая часть произведения	3	2

Переписываем целую часть в прямом порядке 0,4062510₁₀ = 0,32₈

Числа записанные в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системе являются числами основания которых есть степень 2. Значит, их легко перевести в двоичную систему для этого нужно знать, сколько разрядов в двоичной системе нужно для записи всех цифр восьмеричной и шестнадцатеричной системы.

Мы уже изучили измерение информации, поэтому можем посчитать, сколько каждой системе счисления требуется бит (разрядов) для записи всех их символов:

2 = 2ⁱ, 2 = 2¹, i = 1.

8 = 8ⁱ, 8 = 2³, i = 3.

16 = 16ⁱ, 16 = 2⁴, i = 4.

Т.о. для перевода целого 2-го числа в 8-ое, его нужно разбить на группы по 3 цифры(триады) справа налево. Если в крайней левой группе окажется меньше трёх цифр, то дополнить слева нулями. Затем каждую группу преобразовать нужную систему. Для перевода полезно подготовить таблицу преобразования:

8-ая цифра	триада
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

Пример. Переведём двоичное число 101001₂ в восьмеричное:

Решение. Разобьём по 3 цифры(нули слева добавлять не нужно) 101 001 получим 5₈ и 1₈: 101001₂ = 51₈

Для дробных чисел разбиваем на триады слева направо, и если в последней правой группе окажется меньше трёх цифр, дополним её справа нулями:

Пример. Переведём дробное двоичное число 0,11010₂ в восьмеричное:

Решение. 110 10(дополним справа нулями) 110 100. Получим 6₈ и 4₈: 0,11010₂ = 0,64₈

Перевод целого 2-го в 16-ное аналогичен, только здесь разбиваем группы по 4 цифры(тетрады) справа налево, и также если в крайней левой группе меньше четырёх цифр, то добавляем слева нулями

16-ая цифра	тетрада
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
A	1010
B	1011
C	1100
D	1101
E	1110
F	1111

Пример. Число из предыдущего примера 101001₂ переведём в шестнадцатеричное:

Решение. Разобьём по 4 цифры справа налево 10 1001 (дополнив нулями крайнюю левую группу) 0010 1001 получаем 2₁₆ и 9₁₆: 101001₂ = 29₁₆

Для дробных чисел разбиваем на тетрады слева направо, и если в последней правой группе окажется меньше четырёх цифр, дополним её справа нулями:

Пример. Переведём дробное двоичное число 0,110101₂ в восьмеричное:

Решение. 1101 01(дополним справа нулями) 1101 0100. Получим D₁₆ и 4₁₆: 0,110101₂ = 0,D4₁₆

Для перевода чисел из восьмеричной или шестнадцатеричной систем счисления в двоичную нужно каждое число преобразовать в группу из трёх (триаду) или в группу из четырёх (тетраду) двоичных цифр соответственно:

47₈ = разбиваем на триады: 4 = 100, 7 = 111. 47₈ = 100111₂

AB₁₆ = разбиваем на триады: A = 1010, B = 1011. AB₁₆ = 10101011₂

Сложение производится по обычному правилу столбиком, но нужно учитывать, что если при сложении двух чисел
получается число с основанием большим чем у слагаемых, то полученное при сложении число нужно перевести соответствующую
систему счисления. Пример 5 + 7 = 12, НО 5₈ + 7₈ ≠ 12, точнее нужно 12 перевести в
восьмеричную систему(можно так 12 − 8 = 4. 4 пишем, а 1 переносим): 5₈ + 7₈ = 14₈.

Аналогично для сложения шестнадцатеричных чисел 5 + 7 будет также 12, но 12 в 16-ричном коде будет С.

Пример. Вычислим B₁₆ + D₁₆

Решение. B₁₆ = 11₁₀, D₁₆ = 13₁₀. 11₁₀+13₁₀ = 24₁₀ , 24 − 16 = 8 пишем 1 переносим: B₁₆ + D₁₆ = 18₁₆

Пример. Сложим большие шестнадцатеричные числа ABC₁₆ и CD₁₆

Решение:

1. C₁₆ + D₁₆ = 12₁₀ + 13₁₀ = 25₁₀, 25 − 16 = 9, 9 пишем 1 переносим,
2. B₁₆ + C₁₆ = 11₁₀ + 12₁₀ = 23₁₀, 23 – 16 = 7 + 1(которую перенесли), 8 пишем, 1
3. A₁₆ + 1₁₆, 10₁₀+1₁₀ = 11₁₀, 11 = B₁₆

Ответ: ABC₁₆ + CD₁₆ = B89₁₆

Пример. Вычислим 2005₁₆ − B7₁₆

Решение:

1. 5₁₆ − 7₁₆ , но 5 < 7, значит занимаем 10₁₆ из 4-го разряда (а в 3-й и 2-й на место нулей сваливается 10₁₆ – 1₁₆ = 16 − 1 = 15 = F₁₆)
   получаем 10₁₆ + 5₁₆ = 16 + 5 = 21. Теперь 21 – 7 = 14 = E₁₆
2. После заёма, во втором разряде есть 15. Вычитаем из него B₁₆ получаем: 15 – B₁₆ = 15 – 11 = 4₁₀ = 4₁₆
3. После заёма, в третьем разряде есть 15, но вычитать нечего просто оставляем F₁₆
4. И наконец, после заёма, в четвёртом разряде вместо 2 оставляем 1₁₆

Ответ: 2005₁₆ − B7₁₆ = 1F4E₁₆

Арифметические операции над числами в разных системах счисления, производятся путём перевода их в одинаковую систему.

Пример. Вычислим 36₈ + 47₁₆, , а результат представим в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

1. 36₈ раскладываем на триады — 3₈ = 011₂, 6₈ = 110₂, 36₈ = 011110₂
2. 47₁₆ раскладываем на тетрады — 4₁₆ = 0100₂, 7₁₆ = 0111₂, 47₁₆ = 01000111₂
3. 36₈ + 47₁₆ = 011110₂ + 01000111₂ = 1100101₂

Теперь полученное число 1100101₂ переведём восьмеричную и шестнадцатеричную систему:

1100101₂ делим на триады = 001₂, 100₂ и 101₂ = 1₈, 4₈, и 5₈=145₈

1100101₂ делим на тетрады = 0110₂, 0101₂ = 6₁₆, и 5₁₆ = 65₁₆

1100101₂ = 145₈ = 65₁₆