Логические законы и задачи

Закон не противоречия. Законы: исключённого третьего, двойного отрицания, де Моргана, переместительный, сочетательный, распределительный. Решение примеров.

А & ¬А = 0

А | ¬А = 1

¬¬А = А

(А V B) = A Λ B

(А Λ B) = A V A

Логическое умножение: А & В = В & А

Логическое сложение: А | В = В | А

Логическое умножение: (А & В) & C = A & (В & C)

Логическое сложение: (А | В) | C = A | (В | C)

A & (В | C) = (А & В) | (A & C) — дистрибутивность умножения относительно сложения

A | (В & C) = (А | В) & (A | C) — дистрибутивность сложения относительно умножения

(А | В) & (C | D) =
(А & C) | (A & D) |
(B & C) | (B & D)

(А V A) = A

(А Λ A) = A

А V (А Λ В) = A

А Λ (А V В) = A

А V (A Λ В) = A Λ B

Пример 1. Упростить логическое выражение: (А & В) | (A & ¬B)

Решение:

По закону дистрибутивности: (А & В) | (A & ¬B) = А & (В | ¬B)

По закону исключённого третьего: А & (В | ¬B) = А & 1 = А

Пример 2. Даны четыре логических выражения:

1. A V B V C
2. (A Λ B) V C
3. (A V B) Λ C
4. А V B V C

Какое из них равносильно выражению (А V B) V C ?

Решение:

По закону де Моргана: (А V B) = A Λ B

Получаем (A Λ B) V C

Полученное выражение соответствует примеру под номером 2

Пример 3. Даны четыре логических выражения:

1. А & ¬C
2. А | ¬C & B | ¬C
3. ¬C & ( A | B)
4. (А & B) | ¬C

Какое из них равносильно выражению (А | ¬C) & ¬(¬B & C) ?

Решение:

По закону де Моргана ¬(¬B & C) = (¬¬B | ¬C)

По закону двойного отрицания: (¬¬B | ¬C) = (B | ¬C)

Получаем (А | ¬C) & (B | ¬C)

В скобках сложение и одинаковая переменная ¬C, вынесем её за скобки по распределительному закону:

(А | ¬C) & (B | ¬C) = (А & B) | ¬C

Полученное выражение соответствует примеру под номером 4

Логические задачи решаются различными методами, мы рассмотрим метод рассуждений как один из самых простых.

Для задач, в условии которых сказано, что часть утверждении персонажей ложна, а часть истинна, удобно использовать метод рассуждений. Идея этого метода заключается в том, что делается предположение об истинности одного из утверждений, и далее, на основе этого предположения анализируются остальные утверждения. Анализ остальных утверждений «может привести к двум случаям — либо задача оказалась решена, либо встретилось противоречие. Если встретилось противоречие, это означает, что первоначальная гипотеза об истинности одного из утверждений была неверна, и это утверждение на самом деле ложно. Далее, с учетом этой информации продолжаем анализ утверждений пока не решим задачу.

Условия логических задач бывают нескольких типов, рассмотрим три из них.

Задачи такого типа, содержат условия из нескольких двойных высказываний, в которых одно высказывание истинно другое ложно. В результате нужно найти истинные высказывания.

Задача: Перед гран-при гонок класса Формула 1, болельщики высказали следующие предположения: один болельщик — Хэмильтон – победит, а Масса доберётся вторым, другой болельщик – нет, Масса приедет третьим, а победит Райкконен, и наконец, третий болельщик скажет, а я уверен что одержит победу Алонсо, а Хамильтон будет последним.

После соревнований выяснилось, что каждый болельщик был прав только в одном предположении. Какое место занял спортсмен?

Решение:

Обозначим высказывания буквами:

А — Хэмильтон – победит, а Масса второй

В — Масса третий, а Райкконен первый

С — Хэмильтон последний, а Алонсо первый

1. Предполагаем что 1-й параметр высказывания А, истина, тогда 1-й параметр высказывания С – ложь, а второй истина. Получилось, что победили одновременно два пилота, значит наше первое предположение неверно и получаем что 2-й параметр высказывания А есть истина.
2. Т.к. 2-й параметр высказывания А, истина, то 1-й параметр высказывания B ложь, а второй истина.
3. Т.к. второй параметр высказывания В истина, тогда 2-й параметр высказывания С ложно, а первый истина. Итого:

1. Райкконен
2. Масса
3. Алонсо
4. Хэмильтон

В этом типе имеется четыре объекта и на основании условий нужно расставить персонажи или предметы по этим четырём предметам.

Задача: Ольга, Светлана, Татьяна и Алёна сидят на первых четырёх партах, но неизвестно кто на какой. Определите, кто из них носит косички, хвостик, распущенные волосы и короткую стрижку, если известно что:

1. Ольга не на первой парте
2. Алёна сидит дальше от доски чем, чем Светлана.
3. Светлана сидит перед Ольгой
4. Татьяна не сидит на соседней с Еленой парте
5. У девочки с короткой стрижкой номер парты чётный
6. Девочка с хвостом не Татьяна и не Светлана
7. Девочка с косичками сидит на второй парте

Решение:

Обозначим высказывания буквами:

Из 1-го, 2-го, 3-го и 4-го известия, рассадим девочек по партам:

Первое условие

Стол
1	Не Ольга
2	Ольга
3	Ольга
4	Ольга

Второе условие

Стол		Или	Или	Или	Или	Или
1	Светлана	Светлана	Светлана	Не Ольга	Не Ольга	Не Ольга
2	Алёна	Ольга	Ольга	Светлана	Светлана	Ольга
3	Ольга	Алёна	Ольга	Алёна	Ольга	Светлана
4	Ольга	Ольга	Алёна	Ольга	Алёна	Алёна

Третье условие

Стол		Или	Или
1	Светлана	Светлана
2	Ольга	Ольга	Светлана
3	Алёна		Ольга
4		Алёна	Алёна

Четвёртое условие

Стол
1	Татьяна
2	Светлана
3	Ольга
4	Алёна

Из 5-го, 6-го и 7-го известия, выберем девочкам причёски:

Пятое условие

Стол
1	Татьяна
2	Светлана КОР
3	Ольга
4	Алёна КОР

Шестое условие

Стол
1	Татьяна
2	Светлана КОР
3	Ольга ХВ
4	Алёна КОР или ХВ

Седьмое условие

Стол
1	Татьяна РАСП
2	Светлана КОС
3	Ольга ХВ
4	Алёна КОР

В этом типе есть три персонажа, один из которых, может говорить правду, другой лгать, а третий говорить правду через раз. И на основании этих данных сделать вывод по сказанному этими персонажами.

Задача: Три друга Коля, Саша и Миша. Один из них всегда говорит правду, другой всегда лжёт, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Кто из них правдив, а кто нет неизвестно, Миша и Коля сказали следующее:

Миша: Саша никогда не врёт, а от Коли никогда не услышишь правды

Саша: Миша сказал правду про меня

Определите, кто из друзей говорит правду, правду через раз и лжёт.

Решение:

1. Пусть Миша говорит правду, но он утверждает, что и Саша всегда прав, что противоречит условию задачи о правдивости только одного персонажа. Значит, Миша либо говорит правду через раз, либо всегда лжёт.
2. Пусть теперь Саша всегда говорит правду. Тогда 1-е утверждение Миши верно, а второе ложно, раз оно ложно, значит Коля всегда говорит правду. Снова неверно, т.к. получили двух правдивых персонажей. Получаем вывод — Саша также как и Миша либо говорит правду через раз, либо всегда лжёт. Значит 100% Коля всегда прав.
3. Предположим что Миша прав наполовину, значит его 2-е утверждение ложно, а второе истинно, т.е. правдивость Саши – не подходит. Значит, Миша всегда лжёт, а Саша прав наполовину.